{"id":2907,"date":"2023-02-03T17:29:36","date_gmt":"2023-02-03T16:29:36","guid":{"rendered":"https:\/\/unprojetparjour.fr\/?p=2907"},"modified":"2023-02-04T11:39:59","modified_gmt":"2023-02-04T10:39:59","slug":"rapport-entre-la-forme-dune-zellige-arabe-andalouse-et-dun-pattern-musical-2eme-partie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/unprojetparjour.fr\/?p=2907","title":{"rendered":"Rapport entre la forme d’une zellige arabo-andalouse et d’un pattern musical (2\u00e8me partie)"},"content":{"rendered":"

Dans l’article pr\u00e9c\u00e9dent \u00ab\u00a0Rapport entre la forme d’une zellige arabo-andalouse et d’un pattern musical (1\u00e8re partie)\u00a0\u00bb<\/a> J’ai commenc\u00e9 \u00e0 expliquer comment les formes des zelliges arabo-andalouses pouvaient \u00eatre utilis\u00e9es pour interpr\u00e9ter une m\u00e9lodie ou un rythme bas\u00e9s sur leur forme math\u00e9matique.<\/p>\n

J’ai donn\u00e9 l’exemple d’un triangle et d’un carr\u00e9 circonscrit dans des cercles en rapport avec des notes de musique. Aujourd’hui je continue mon explication.<\/p>\n

Je vais partir d’une simple \u00e9toile \u00e0 8 branches utilis\u00e9e couramment dans les zelliges.<\/p>\n

La voici.<\/p>\n

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Cette \u00e9toile comme le motif avec triangle et carr\u00e9 du pr\u00e9c\u00e9dent article a \u00e9t\u00e9 \u00e9crit en SVG et je commence \u00e0 partir d’un code basique \u00e0 \u00e9crire une fonction g\u00e9n\u00e9rale qui pourra \u00eatre utilis\u00e9e pour dessiner toutes mes zelliges.<\/p>\n

Cette \u00e9toile comprend 16 segments et 16 sommets r\u00e9partis en deux s\u00e9ries altern\u00e9es d’angles convexes et d’angles concaves. On parle en math\u00e9matique, je pense, de polygone concave \u00e9toil\u00e9 car si on prolonge un cot\u00e9 du polygone par une droite et si une de ces droites divise notre polygone (c’est-\u00e0-dire que notre polygone n’est pas d’un seul cot\u00e9 de cette droite, sur un demi-plan) alors le motif est concave et \u00e9toil\u00e9.<\/p>\n

Pour l’exemple, j’ai pris comme position de ces sommets 250 points pour les angles aigus et 191,342 points pour les angles obtus. Cette forme est g\u00e9om\u00e9triquement exacte comme pi\u00e8ce de zellige. Les angles sont de 90 degr\u00e9s pour les convexes et \u00e0 135 degr\u00e9s pour les concaves.<\/p>\n

Le rapport entre ces deux valeurs si on consid\u00e8re que le cercle \u00e0 250 points repr\u00e9sente le la<\/em> 440 hz alors notre autre cercle \u00e0 191,342 points correspondrait \u00e0 336,761 hz\u2026 ce qui malheureusement ne tombe pas juste pour une note car nous sommes entre le mi<\/em> (330 hz) et le fa<\/em> (349 hz).<\/p>\n

Cherchons l’erreur.<\/p>\n

Je dessine donc une autre forme d’\u00e9toile avec des branches plus marqu\u00e9es. Les angles sont de 45 degr\u00e9s et 90 degr\u00e9s. Cette fois-ci j’observe une mesure de la position des sommets concaves \u00e0 132,433 points du centre et une fr\u00e9quence 238,126 hz et l\u00e0 aussi j’ai un d\u00e9calage de quelques hz et je suis entre le sib<\/em> (233 hz) et le si<\/em> (247 hz). En faisant un rapport entre la valeur calcul\u00e9e g\u00e9om\u00e9triquement et la valeur calcul\u00e9e en utilisant le la<\/em> (440 hz pour 250 points) et ce pour les deux figures j’ai exactement le m\u00eame d\u00e9calage de environ 2 % (2,1642195 % \u00e0 moins d’un milliardi\u00e8me pr\u00e8s).<\/p>\n

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figure des deux \u00e9toiles calcul\u00e9es g\u00e9om\u00e9triquement<\/p>\n

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figure des deux \u00e9toiles avec en bleu la position des sommets qui respecterait la fr\u00e9quence.<\/p>\n

Si je r\u00e9duis mon cercle de base (en gros ma r\u00e9f\u00e9rence au la<\/em> du diapason) d’environ 2 % est-ce que je retomberai sur mes pattes ?\u00a0Mes sommets correspondant au la<\/em> seront donc \u00e0 approximativement 244,704 points du centre.<\/p>\n

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figure des deux \u00e9toiles avec en bleu la position des anciens points correspondant au la \u00e0 440 hz.<\/p>\n

Je suis un peu \u00e9tonn\u00e9 qu’en ne changeant que la position des sommets sur le cercle externe et correspondant normalement au la \u00e0 440 hz et en donnant aux autres notes les positions correspondant \u00e0 leur fr\u00e9quence juste dans la gamme des fr\u00e9quences, l’ensemble du graphique se recale et les formes sont parfaites : angles, segments, tout a suivi.<\/p>\n

Maintenant vient la v\u00e9rification, Si la position de mes sommets est bonne alors j’ai tous mes segments de la m\u00eame longueur et mes angles doivent \u00eatre de 45, 90 et 135 degr\u00e9s. C’est ok pour les segments \u00e0 la v\u00e9rification du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore. Pour les angles, je dois utiliser la formule d’al-Kashi qui dit que pour un triangle quelconque ABC, je peux retrouver le cot\u00e9 BC en connaissant AB et AC et l’angle BAC. Ce th\u00e9or\u00e8me est sous la forme suivante :<\/p>\n

a2 = b2 + c2 – 2bc * cos(BAC)<\/p>\n

et donc pour trouver l’angle on r\u00e9arrange l’ensemble comme ceci<\/p>\n

cos(BAC) = (a2 – b2 – c2) \/\u00a0 <\/span>-2bc.<\/p>\n

Pour d\u00e9terminer ce cosinus on a besoin de la position du sommet sur lequel se situe l’angle (A) et les deux positions des sommets adjacents (B et C). On sait que les segments AB et AC sont identiques puisqu’il s’agit de deux des segments de notre \u00e9toile. Il ne nous manque que le segment BC qu’on peut de nouveau retrouver par le Th\u00e9or\u00e8me de Pythagore ou la formule d’al-Kashi mais plus simple encore comme on sait qu’il y a alternance de 2 angles il suffit de trouver comment arriver \u00e0 360\u00b0. On a 16 points mais 8 motifs identiques comportant 2 angles. Dans les deux \u00e9toiles, on a un angle de 90\u00b0 visible sur notre exemple. 360\u00b0 est \u00e9gal \u00e0 8 fois 45\u00b0. Donc comme on a un angle aigu et un angle obtus (ou concave et convexe) et que l’un des angles est \u00e0 90\u00b0 le deuxi\u00e8me est obligatoirement le r\u00e9sultat de (90 – 45) ou (90 + 45), on obtient dans les deux cas 45 et 135 , le deuxi\u00e8me angle est donc de 45 ou de 135\u00b0. Normalement la formule d’al-Kashi nous prouverait cela mais si vous savez d\u00e9j\u00e0 que tous vos segments sont identiques, je ne pense pas qu’il y ait besoin de recalculer pour chaque angle \u00e0 chaque sommet cette v\u00e9rification d’autant plus que les sommets sont d\u00e9j\u00e0 calcul\u00e9s et les valeurs des angles \u00e0 90\u00b0 sont confirm\u00e9es par les valeurs des positions de ces sommets.<\/p>\n

je dessinerai les autres formes de zelliges et je continuerai afin de voir si ces approximations se rencontrent sur d’autres pi\u00e8ces.<\/p>\n

Bon maintenant un autre probl\u00e8me se pose.<\/p>\n

J’ai diminu\u00e9 mon cercle ext\u00e9rieur d’environ 2% et donc mes sommets ne sont plus \u00e0 250 points du centre mais \u00e0 244,704 points. En terme de fr\u00e9quence qu’est-ce que cela implique ? Si 250 points repr\u00e9sente 440 hz alors 244,704 points repr\u00e9sente 430,68 hz. Peut-on en d\u00e9duire quelque chose ? 430,68 hz est tr\u00e8s proche de 432 hz ! Par contre je base le calcul des autres fr\u00e9quences sur 440 hz et les sommets sont bien plac\u00e9s mais si je change pour un diapason \u00e0 432 hz qu’est-ce que cela sous entend en terme de fr\u00e9quence des notes ? Si je dois aussi les recalculer, il y aura de nouveau un d\u00e9calage des sommets et je devrai baisser de nouveau la fr\u00e9quence de mon diapason. Bref c’est comme le chien qui court apr\u00e8s sa queue.<\/p>\n

Je vous laisse r\u00e9fl\u00e9chir \u00e0 cela et si vous avez une r\u00e9ponse \u00e0 me donner, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 m’\u00e9crire, je me suis peut-\u00eatre tromp\u00e9 quelque part.<\/p>\n

Malgr\u00e9 ce \u00ab\u00a0probl\u00e8me\u00a0\u00bb, j’ai pu d\u00e9montrer dans l’ensemble qu’il y a un rapport r\u00e9el entre les notes de musique et les pi\u00e8ces de zelliges. Il me faut maintenant travailler \u00e0 \u00e9laborer quelque chose de plus complet et int\u00e9ressant musicalement.<\/p>\n

Je parlerai dans un prochain article des rythmes euclidiens et du rapport avec ce travail. En attendant un peu de musique avec cet aper\u00e7u musical des formes qu’on vient de voir.<\/p>\n